Géométrie spectrale - Nalini Anantharaman (Collège de France)

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2022-2023

01 - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Introduction au chaos quantique

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

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Année 2022-2023

02 - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Le théorème d'ergodicité quantique

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Année 2022-2023

03 - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Entropie des fonctions propres en courbure négative

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Année 2022-2023

04 - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Entropie et support des mesures semiclassiques

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Année 2022-2023

05 - Principes d'incertitude entropique et fractal : application à l'ergodicité quantique I (1)

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Année 2022-2023

06 - Principes d'incertitude entropique et fractal : application à l'ergodicité quantique I (2)

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Année 2022-2023

07 - Principes d'incertitude entropique et fractal : application à l'ergodicité quantique II

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Année 2022-2023

08 - Principes d'incertitude entropique et fractal : Ergodicité quantique sur les grands graphes I

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Année 2022-2023

09 - Principes d'incertitude entropique et fractal : Ergodicité quantique sur les grands graphes II

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Année 2022-2023

09 - Principes d'incertitude entropique et fractal : Ergodicité quantique sur les grands graphes III

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Année 2023-2024

01 - Spectres de graphes et de surfaces

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Année 2023-2024

02 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique (1)

Résumé

Après avoir défini le « flot géodésique » sur un graphe régulier, nous décrirons les corrélations temporelles de deux observables. La décroissance exponentielle des corrélations s'exprime explicitement grâce à la décomposition spectrale du laplacien. Il s'agit d'un cas particulier simple et explicite de ce que David Ruelle a appelé « développement en états résonants » pour un système dynamique chaotique. Cette correspondance entre fonctions propres du laplacien et états résonants du flot géodésique démontre aussi la « formule des traces », et la formule d'Ihara-Bass.

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Année 2023-2024

03 - Spectres de graphes et de surfaces : Graphes réguliers : spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodesique (2)

Résumé

Après avoir défini le « flot géodésique » sur un graphe régulier, nous décrirons les corrélations temporelles de deux observables. La décroissance exponentielle des corrélations s'exprime explicitement grâce à la décomposition spectrale du laplacien. Il s'agit d'un cas particulier simple et explicite de ce que David Ruelle a appelé « développement en états résonants » pour un système dynamique chaotique. Cette correspondance entre fonctions propres du laplacien et états résonants du flot géodésique démontre aussi la « formule des traces », et la formule d'Ihara-Bass.

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Année 2023-2024

04 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (I)

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Année 2023-2024

05 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (II)

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Année 2023-2024

06 - Spectres de graphes et de surfaces : Spectre du laplacien et décroissance des corrélations du flot géodésique sur les surfaces hyperboliques (II)

Nous terminerons le calcul des résonances de Ruelle d'une surface hyperbolique compacte, commencé au dernier cours en utilisant la théorie des représentations de PSL(2, R). Nous traiterons en détail le cas des séries principales. Nous calculerons les coefficients de Fourier des états résonants et en déduirons qu'ils appartiennent à des espaces de Sobolev négatifs. On fera ensuite une brève présentation de la théorie des espaces de Sobolev anisotropes, afin de comparer les résultats obtenus par les deux méthodes (théorie des représentations / espaces anisotropes).

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Année 2023-2024

06 - Spectres de graphes et de surfaces : Valeur en 0 des séries de Poincaré des surfaces et des graphes

Récemment, Dang et Rivière ont démontré une identité remarquable, qui exprime la valeur en 0 des séries de Poincaré de n'importe quelle surface de courbure négative en fonction de la caractéristique d'Euler. Ainsi, une série de Dirichlet définie à partir des longueurs des géodésiques, possède une valeur en 0 qui dépend uniquement de la topologie de la surface. Dans ce cours, nous démontrons un théorème analogue pour les graphes. Nous reprenons la méthode de Dang et Rivière, mais le fait de travailler sur un espace discret demande de modifier significativement certaines étapes.

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Année 2023-2024

07 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (I)

Dans ces deux derniers cours, nous nous intéressons à des modèles de graphes (q+1)-réguliers aléatoires à N sommets. Nous étudions le trou spectral de la matrice d'adjacence, dans la limite où N tend vers l'infini. Nous exposons un résultat dû à Joel Friedman, et plusieurs étapes de sa démonstration : avec une probabilité qui tend vers 1, le trou spectral est quasi-optimal, c'est-à-dire supérieur à (q+1)-2q^{1/2}-\epsilon.

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Année 2023-2024

08 - Spectres de graphes et de surfaces : Trou spectral optimal des graphes réguliers aléatoires, d'après J. Friedman (II)

Dans ces deux derniers cours, nous nous intéressons à des modèles de graphes (q+1)-réguliers aléatoires à N sommets. Nous étudions le trou spectral de la matrice d'adjacence, dans la limite où N tend vers l'infini. Nous exposons un résultat dû à Joel Friedman, et plusieurs étapes de sa démonstration : avec une probabilité qui tend vers 1, le trou spectral est quasi-optimal, c'est-à-dire supérieur à (q+1)-2q^{1/2}-\epsilon.

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Année 2024-2025

01 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Modèles de surfaces hyperboliques aléatoires

Résumé

Le but du cours de cette année est de décrire les surfaces hyperboliques aléatoires, leur géométrie et leur spectre.

Nous évoquerons aussi les graphes réguliers aléatoires, dont la combinatoire et la théorie spectrale sont à maints égards analoque à celles des surfaces hyperboliques. Dans cette séance, nous introduisons la méthode probabiliste de Paul Erdös, et définissons plusieurs modèles de graphes réguliers aléatoires. Nous nous intéressons principalement à leur constante de Cheeger et leur trou spectral, mais aussi à leur systole et leur diamètre.

Références

P. Erdös, Graph theory and probability. Canadian Journal of Math. 1959. Preuve de l'inégalité (4)

B. Bollobás, The isoperimetric number of random regular graphs, Eur. Journal of Combinatorics 1988

P. Diaconis, D. Stroock, Geometric bounds for eigenvalues or Markov chains, Ann. Appl. Probab. 1991. Proposition 6 (inégalité de Cheeger).

J. Friedman, A Proof of Alon's Second Eigenvalue Conjecture and Related Problems. Memoirs of the AMS 2008. Introduction (Partie 1, définition des modèles de graphes réguliers aléatoires)

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Année 2024-2025

02 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Modèles de surfaces hyperboliques aléatoires

Résumé

Nous décrivons succinctement un autre modèle probabiliste, le modèle de revêtements aléatoires d'une surface hyperbolique, afin de pouvoir énoncer les théorèmes de Magee-Naud-Puder et Magee-Hide concernant le trou spectral de ces surfaces.

Nous passons enfin à la description de la mesure de Weill-Petersson sur l'espace des modules des structures hyperboliques, sur une surface compacte orientée.

Cet espace des modules étant défini comme quotient de l'espace de Teichmüller, il nous faudra développer quelques formules de base concernant l'intégration sur des espaces quotients.

Références

M. Magee, F. Naud, D. Puder, A random cover of a compact hyperbolic surface has relative spectral gap 3/16-epsilon. Geometric and functional analysis 2022, Théorème 1.5

W. Hide, M. Magee, Near optimal spectral gaps for hyperbolic surfaces, Annals of Math. 2023, Théorème 1.1

P. Buser, Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces, début du Chapitre 6

S. Wolpert, On the Weil-Petersson geometry of the moduli space of curves, American J. of Math. 1985

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Année 2024-2025

03 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Récursion topologique et conséquences

Résumé :

Après avoir décrit la procédure d'intégration sur des espaces quotients, nous en déduisons la première formule d'intégration de Mirzakhani, qui exprime l'intégrale de fonctions du type « longueur d'une multi-courbe » en termes du volume de l'espace des modules du complémentaire de la multi-courbe. Nous démontrons ensuite le théorème de Bers et en déduisons que le volume de Weil-Petersson de l'espace des modules est fini. Enfin, nous commençons la démonstration de l'identité de McShane, généralisée par Mirzakhani, et qui constitue le premier pas vers les formules de récursion topologique.

Références :

M. Mirzakhani, Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces, Inventiones Math. 2006 (sections 3 et 4 et version personnelle du théorème 8.1).

P. Buser, Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces, Modern Birkhäuser Classics, Section 5.1.

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Année 2024-2025

04 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Récursion topologique et conséquences (suite)

Résumé :

Après avoir décrit la procédure d'intégration sur des espaces quotients, nous en déduisons la première formule d'intégration de Mirzakhani, qui exprime l'intégrale de fonctions du type « longueur d'une multi-courbe » en termes du volume de l'espace des modules du complémentaire de la multi-courbe. Nous démontrons ensuite le théorème de Bers et en déduisons que le volume de Weil-Petersson de l'espace des modules est fini. Enfin, nous commençons la démonstration de l'identité de McShane, généralisée par Mirzakhani, et qui constitue le premier pas vers les formules de récursion topologique.

Références :

M. Mirzakhani, Simple geodesics and Weil-Petersson volumes of moduli spaces of bordered Riemann surfaces, Inventiones Math. 2006 (sections 3 et 4 et version personnelle du théorème 8.1).

P. Buser, Geometry and Spectra of Compact Riemann Surfaces, Modern Birkhäuser Classics, Section 5.1.

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Année 2024-2025

05 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Fonctions « volume » pour des courbes simples

Nalini Anantharaman

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Collège de France

Année 2024-2025

07 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Fonctions « volume » pour des courbes quelconques

Intervenant :

Nalini Anantharaman

Professeur du Collège de France

Nalini Anantharaman

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Collège de France

Année 2024-2025

08 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Fonctions de Friedman-Ramanujan

Intervenant :

Nalini Anantharaman

Professeur du Collège de France

Nalini Anantharaman

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Collège de France

Année 2024-2025

09 - Spectre des surfaces hyperboliques aléatoires : Trou spectral des surfaces aléatoire

Intervenant :

Nalini Anantharaman

Professeur du Collège de France

Nalini Anantharaman

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Collège de France

Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications : Gros plan sur la géométrie aléatoire convexe

Intervenant : Pierre Calka

Université de Rouen Normandie

Résumé

L'exposé porte sur un certain type de géométrie aléatoire qui mélange géométrie convexe et intégrale avec la théorie des probabilités et plus particulièrement la notion de processus ponctuel. Celui-ci consiste en général à se donner un ensemble discret de points aléatoires dans l'espace euclidien puis d'effectuer une construction géométrique déterministe à partir de cet ensemble et d'étudier l'objet aléatoire obtenu. Nous nous concentrons en particulier sur le plus petit polytope convexe contenant le nuage aléatoire de points, c'est-à-dire son enveloppe convexe. Un tel modèle apparaît naturellement dans différents domaines comme la géométrie algorithmique, l'analyse d'images ou la statistique de données multivariées. Une fois donné le contexte historique, nous présentons quelques résultats asymptotiques récents en faisant un gros plan sur la frontière du polytope aléatoire. Ceux-ci incluent des lois limites, valeurs extrêmes ou des propriétés en grande dimension. Nous espérons en chemin donner un aperçu significatif des outils mathématiques requis, à la fois en probabilités et en géométrie, et tenter de faire le pont avec d'autres domaines comme les équations aux dérivées partielles.

L'exposé est basé sur plusieurs travaux communs avec Joe Yukich, Gauthier Quilan et Benjamin Dadoun.

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Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas.

Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie.

En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition.

Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.

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Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications : Sur les graphes aléatoires unimodulaires

Intervenant :

François Baccelli

Inria & École normale supérieure Paris

Résumé

L'exposé introduira d'abord les graphes aléatoires unimodulaires et donnera plusieurs exemples issus de la théorie des processus ponctuels, des processus de branchement, des marches aléatoires et des ensembles aléatoires discrets auto-similaires. Plusieurs types de résultats sur ces graphes seront ensuite passés en revue :

Des extensions unimodulaires de théorèmes classiques du calcul de Palm et de la théorie ergodique.

Une classification des dynamiques déterministes ou aléatoires sur ces graphes basée sur les propriétés de leurs variétés stables.

Deux nouvelles notions de dimension pour de tels graphes, à savoir leurs dimensions unimodulaires de Minkowski et de Hausdorff.

Cet exposé est basé sur une série d'articles en collaboration avec M.-O. Haji-Mirsadeghi et A. Khezeli.

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Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas.

Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie.

En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition.

Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.

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Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications : Géométrie des excursions de champs aléatoires réguliers et inférence statistique

Intervenante :

Anne Estrade

Université Paris Cité

Résumé

Some geometrical and topological features of the excursions of smooth random fields will be presented, such as their expected Lipschitz-Killing curvatures. The concerned random fields will be Gaussian or Gaussian based, but also shot-noise fields will be considered. Based on these features, one can statistically infer some informations on the underlying random field, in particular statistical tests (of Gaussianity, or of isotropy) and parameters estimations. A special focus on the two-dimensional case will be payed as it is the natural framework for image analysis.

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Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas.

Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie.

En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition.

Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.

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Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications : Modèles d'images aléatoires et applications en mammographie digitale

Intervenante :

Agnès Desolneux

CNRS, École normale supérieure Paris-Saclay

Résumé

In this talk I will present several random image models that are else explicit (such as Gaussian models or Boolean models for instance), or more "implicit" (such as images generated by a neural network). I will discuss how these models are used to understand the detectability of some lesions in digital mammograms. I will also discuss another interest of such models, which is that they allow to perform virtual clinical trials.

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Le terme « géométrie aléatoire » désigne tout processus permettant de construire de manière aléatoire un objet géométrique ou des familles d'objets géométriques. Un procédé simple consiste à assembler aléatoirement des éléments de base : sommets et arêtes dans le cas des graphes aléatoires, triangles ou carrés dans certains modèles de surfaces aléatoires, ou encore triangles, « pantalons » ou tétraèdres hyperboliques dans le cadre des géométries hyperboliques. La théorie des graphes aléatoires imprègne toutes les branches des mathématiques actuelles, des plus théoriques (théorie des groupes, algèbres d'opérateurs, etc.) aux plus appliquées (modélisation de réseaux de communication, par exemple). En mathématiques, l'approche probabiliste consiste à évaluer la probabilité qu'une propriété géométrique donnée apparaisse : lorsque l'on ne sait pas si un théorème est vrai, on peut tenter de démontrer qu'il l'est dans 99 % des cas.

Une autre méthode classique pour générer des paysages aléatoires consiste à utiliser les séries de Fourier aléatoires, avec de nombreuses applications en théorie du signal ou en imagerie.

En physique théorique, les géométries aléatoires sont au cœur de la théorie de la gravité quantique et d'autres théories des champs quantiques. Les différents aspects mathématiques s'y retrouvent curieusement entremêlés, par exemple, la combinatoire des quadrangulations ou des triangulations apparaît dans le calcul de certaines fonctions de partition.

Ce colloque offrira un panorama non exhaustif des géométries aléatoires, couvrant des aspects allant des plus abstraits aux applications concrètes en imagerie et télécommunications.

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Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications - Adrien Sauvaget : Constantes de Siegel-Veech des surfaces de translation

Intervenant :

Adrien Sauvaget

CNRS, Université Cergy-Pontoise

Résumé

Une surface de translation est une surface de Riemann munie d'une différentielle holomorphe. Cette différentielle définit une métrique plate (hors du lieu singulier) dont l'holonomie est triviale. J'expliquerai comment le comptage de géodésique longues sur une surface de translation générique a été permis par l'étude des espaces des modules associés. Ces résultats mêlent des arguments de théorie ergodique, de théorie des représentations et de géométrie algébrique.

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Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications - Bertrand Eynard : Les géometries aléatoires dans le miroir de la géometrie algébrique Random Geometry in the Mirror of Algebraic Geometry

Intervenant :

Bertrand Eynard

CEA Saclay

Résumé

La géométrie aléatoire consiste à calculer des espérances et probabilités sur des objets géométriques aléatoires, typiquement des surfaces (surfaces hyperboliques, surfaces discrètes, surfaces immergées dans un espace cible, ou portant certains champs, etc.)

Fait remarquable, les fonctions génératrices comptant les surfaces de topologie fixée sont souvent des fonctions algébriques. De plus, il existe une récurrence universelle appelée récurrence topologique, qui relie l'énumération des surfaces de genre g avec n bords à celle des disques (g=0,n=1) : « si vous savez énumérer les disques, la récurrence topologique vous dit comment énumérer toutes les topologies. »

La fonction génératrice des disques est appelée la courbe spectrale. Cette observation permet de reformuler le problème d'énumération dans le langage de la géométrie algébrique : une fois la courbe spectrale spécifiée, toutes les autres fonctions génératrices peuvent être dérivées.

Ce cadre peut également être interprété à travers le prisme de la symétrie miroir. Dans cette perspective, un problème d'énumération est le « miroir » d'une courbe algébrique, et les calculs d'énumération se traduisent en calculs d'analyse complexe sur cette courbe.

Nalini Anantharaman

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Collège de France

Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications - Thierry Lévy : Volume de l'espace des modules de connexions plates, d'après Witten Volume of the Moduli Space of Flat Connections, After Witten

Intervenant :

Thierry Lévy

Sorbonne Université

Résumé

Dans cet exposé, je présenterai la manière dont Witten a calculé, au début des années 1990, le volume symplectique de l'espace des modules de connexions plates sur un fibré principal au-dessus d'une surface compacte sans bord. L'idée principale de Witten était d'approcher la mesure de Liouville sur l'espace des connexions plates par une mesure sur l'espace de toutes les connexions (modulo tranformations de jauge), la mesure de Yang—Mills non normalisée, dont il est "facile" de calculer le volume, en tout cas à un certain niveau heuristique.

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Collège de France

Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications - Jérémie Bouttier : Sur l'énumération des cartes à bords géodésiques On the Enumeration of Maps with Geodesic Boundaries

Intervenant :

Jérémie Bouttier

Sorbonne Université

Résumé

Les cartes combinatoires sont des surfaces discrètes obtenues par recollement de polygones. Les premiers résultats d'énumération les concernant ont été obtenus par Tutte dans les années 1960. Au cours des années 1980-90, elles ont été très étudiées en physique théorique (sous divers vocables : diagrammes planaires, graphes-ruban...) en raison de leurs liens avec la gravité quantique bidimensionnelle et les modèles de matrices. Enfin, depuis les années 2000, de nouvelles approches combinatoires et probabilistes ont conduit à d'importants développements.

Après avoir donné un aperçu de cette longue histoire, j'évoquerai quelques résultats obtenus en collaboration avec Emmanuel Guitter et Grégory Miermont, sur l'énumération des cartes à bords géodésiques. Ceux-ci suggèrent une analogie avec la géométrie hyperbolique, déjà observée dans d'autres contextes, dont notamment la récurrence topologique. Nous aimerions parvenir à une explication « bijective » de cette analogie.

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Collège de France

Année 2024-2025

Colloque - Géométries aléatoires et applications - Yilin Wang : The Brownian Loop Measure on Riemann Surfaces and Applications to Length Spectra

Intervenant :

Yilin Wang

IHES

Résumé

The goal of this talk is to showcase how we can use stochastic processes to study the geometry of surfaces. More precisely, we use the Brownian loop measure to express the lengths of closed geodesics on a hyperbolic surface and zeta-regularized determinant of the Laplace-Beltrami operator. This gives a tool to study the length spectra of a hyperbolic surface and we obtain a new identity between the length spectrum of a compact surface and that of the same surface with an arbitrary number of additional cusps.

This is a joint work with Yuhao Xue (IHES).

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Année 2022-2023

Leçon inaugurale - Nalini Anantharaman : Histoires de spectres

Dans les années 1920, une théorie mathématique (la diagonalisation des matrices) et une question physique (la détermination du spectre des atomes), nées indépendamment, se sont rejointes pour donner donner naissance à la mécanique quantique, et à la branche des mathématiques appelée « théorie spectrale ».

La théorie spectrale intervient à chaque fois que l'on doit étudier une équation d'évolution linéaire : elle permet de décomposer les solutions de l'équation comme superposition de solutions stationnaires, appelées « modes propres », vibrant à certaines fréquences dites « fréquences propres ». Les fréquences propres constituent le « spectre ». C'est ainsi qu'un son se décompose en superposition d'harmoniques, ou que la lumière est une superposition de couleurs.

Une question toujours au coeur de la théorie spectrale est de savoir distinguer le spectre discret du spectre continu, et de déterminer où les mode propres sont localisés. La théorie spectrale est un domaine de l'analyse mathématique où l'on doit en permanence travailler dans des espaces de dimension infinie, ce qui rend les calculs très abstraits. Cependant, pour les besoins de la physique, ou simplement parce que l'on a besoin de garder une intuition géométrique des phénomènes, on cherche à comprendre le lien entre la géométrie initiale du problème (la forme d'un instrument de musique, la description planétaire de l'atome,…) et le spectre de l'objet. C'est la raison d'être de la géométrie spectrale.

La leçon expliquera l'histoire du domaine, quelques grands thèmes de recherche passés et actuels, ainsi que mes contributions.

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Année 2022-2023

Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Eigenstate Thermalization Hypothesis – From Interacting Qubits to Quantum Field Theory

Anatoly Dymarsky, University of Kentucky

Résumé

I will discuss various aspects of Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH), including rigorous definition of the "subsystem ETH", weak vs strong ETH, connection to thermalization dynamics, and extension to integrable systems (the so-called generalized ETH). The latter will be illustrated by the case of 2d conformal field theories – one of the very few models which has been solved analytically.

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Année 2022-2023

Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : ETechniques semiclassiques en dimension infinie

Francis Nier, Université Paris 13

Résumé

L'asymptotique de champ moyen bosonique est connue depuis longtemps comme étant formellement un problème semiclassique en dimension infinie. Un certain nombre de travaux se sont penchés ces dernières années sur l'adaptation des techniques semiclassiques à la dimension infinie, pas forcément pour traiter uniquement du champ moyen. Après des discussions avec certains collègues, dont Steve Zelditch, je propose de faire un rapide tour d'horizon de ce qui marche et de ce qui ne marche pas exactement comme en dimension finie. Dans un premier temps j'exposerai quelques modèles simples qui entrent, directement ou pas vraiment, dans un cadre de champ moyen. Ensuite j'exposerai différentes approches et aborderai des subtilités liées à la dimension infinie. Steve Zelditch m'avait entre autre demandé : « Y a-t-il un théorème d'Egorov en dimension infinie ? ». Ma réponse est : « Non et oui ». J'expliquerai.

Nalini Anantharaman

Géométrie spectrale

Collège de France

Année 2022-2023

Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Rank-Uniform Local Law and Quantum Unique Ergodicity for Wigner Matrices

László Erdős, Institute of Science and Technology Austria

Résumé

Large random matrices tend to exhibit universal spectral fluctuations. Besides overviewing the well-known Wigner-Dyson and Tracy-Widom universality for Hermitian Wigner matrices, we present new analogous results for non-Hermitian matrices. In particular, we establish edge universality, CLT for linear statistics and a precise three-term asymptotic expansion for the rightmost eigenvalue of an n by n random matrix with independent identically distributed complex entries as n tends to infinity.

Nalini Anantharaman

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Collège de France

Année 2022-2023

Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Fractal Uncertainty Principle

Intervenant(s) : Semyon Dyatlov, Massachussetts Institute of Technology

Résumé

Fractal uncertainty principle states that if a function is Fourier localized to a fractal set, then only a very small part of its mass can live on another fractal set. In this talk I will state the fractal uncertainty principle and discuss two proofs: a simpler one in the case of arithmetic Cantor sets (joint work with Long Jin) and a more complicated one for general fractal subsets of the real line (joint work with Jean Bourgain).

Nalini Anantharaman

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Année 2022-2023

Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Quantum Unique Ergodicity and Random Matrices, an Introduction

Intervenant(s) : Paul Bourgade, Courant Institute, New York University

Résumé

I will review the role of the quantum unique ergodicity (QUE) notion of delocalization, in the context of random matrices. QUE can be proved by dynamic or combinatorial methods, and implies that the local eigenvalues statistics exhibit the universal repulsion of Gaussian, invariant ensembles.We will focus in particular on the techniques involving the Dyson Brownian Motion.

Applications include Wigner matrices, Erdös Rényi and d-regular random graphs, and random band matrices.

Nalini Anantharaman

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Année 2022-2023

Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Exactly Solved Models of Many-Body Quantum Chaos

Intervenant(s) : Tomaž Prosen, Université de Ljubljana

Résumé

I will discuss the problem of unreasonable effectiveness of random matrix theory for description of spectral fluctuations in extended quantum lattice systems. A class oflocally interacting spin systems has been recently identified where the spectral form factor is proven to match with gaussian or circular ensembles of random matrix theory, and where spatiotemporal correlation functions of local observables as well as some measures of dynamical complexity can be calculated analytically. These, so-called dual unitary systems, include integrable, non-ergodic, ergodic, and generically, (maximally) chaotic cases. After reviewing the basic properties of dual unitary Floquet circuits, I will argue that correlation functions of these models are generally perturbatively stable with respect to breaking dual-unitarity, and describe a simple result within this framework.

Nalini Anantharaman

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Année 2022-2023

Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Mobility Edge of Lévy Matrices

Intervenant(s) : Charles Bordenave, Institut de Mathématiques de Marseille

Résumé

I will discuss the problem of unreasonable effectiveness of random matrix theory for description of spectral fluctuations in extended quantum lattice systems. A class oflocally interacting spin systems has been recently identified where the spectral form factor is proven to match with gaussian or circular ensembles of random matrix theory, and where spatiotemporal correlation functions of local observables as well as some measures of dynamical complexity can be calculated analytically. These, so-called dual unitary systems, include integrable, non-ergodic, ergodic, and generically, (maximally) chaotic cases. After reviewing the basic properties of dual unitary Floquet circuits, I will argue that correlation functions of these models are generally perturbatively stable with respect to breaking dual-unitarity, and describe a simple result within this framework.

Nalini Anantharaman

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Année 2022-2023

Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : From Unitary Dynamics to Statistical Mechanics in Isolated Quantum Systems

Intervenant(s) : Marcos Rigol, Penn State University

Résumé

Experiments with ultracold gases have made it possible to study dynamics of (nearly-) isolated quantum many-body systems, which has revived theoretical interest on this topic. In generic isolated systems, one expects nonequilibrium dynamics to result in thermalization: a relaxation to states where the values of macroscopic quantities are stationary, universal with respect to widely differing initial conditions, and predictable through the time-tested recipe of statistical mechanics. However, it is not obvious what feature of a many-body system makes quantum thermalization possible, in a sense analogous to that in which dynamical chaos makes classical thermalization possible. Underscoring that new rules could apply in the quantum case, experimental studies in one-dimensional systems have shown that traditional statistical mechanics can provide wrong predictions for the outcomes of relaxation dynamics. We show that isolated "nonintegrable" systems do in fact relax to states in which observables are well-described by statistical mechanics. Moreover, we argue that the time evolution itself only plays an auxiliary role as thermalization occurs at the level of individual eigenstates.

Nalini Anantharaman

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Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Curves, Surfaces and Intersection

Hugo Parlier, Université du Luxembourg

Résumé

Understanding curves on surfaces has become a primary tool for understanding their hyperbolic structures and associated moduli spaces. This talk will be on understanding curves through their intersection with other curves and themselves.

For instance, through classical work of Dehn, simple closed curves can be described using intersection numbers with other simple curves. An underlying theme will be to figure out to what extent you can describe all curves in a similar fashion. More generally, curves are fabulous objects to experience the interplay between the topology and geometry of hyperbolic surfaces.

Part of the talk will be based on joint work with Binbin Xu.

Nalini Anantharaman

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Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Prescribing the Spectra of Cubic Graphs

Peter Sarnak, Princeton University / IAS Princeton

Résumé

The spectra of large locally uniform geometries have been studied widely and from different points of view. They include Ramanujan Graphs and Buildings, euclidean and hyperbolic spaces and more general locally symmetric spaces. We review some of these briefly highlighting rigidity features. We then focus on the simplest case of finite cubic graphs which prove to be surprisingly rich with structure and applications in combinatorics,physics and chemistry. As one imposes restrictions on these graphs, planarity, fullerenes, ... their spectra become rigid. Joint work with Alicia Kollar and Fan Wei.

Nalini Anantharaman

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Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Prescribing the Spectra of Cubic Graphs

Alicia Kollár, University of Maryland

Résumé

After two decades of development, superconducting circuits have emerged as a rich platform for quantum computation and simulation. When combined with superconducting qubits, lattices of coplanar waveguide (CPW) resonators can be used to realize artificial photonic materials or photon-mediated spin models. Here I will highlight the special properties of this hardware implementation that lead to these lattices naturally being described as line graphs. Elucidating this connection required combining theoretical and computational methods from both physics pure mathematics, and has lead not only to a new understanding of the physics of these devices [1, 2], but also new results regarding spectral gaps of 3-regular graphs [3], and a framework for studying a new class of topologically-protected quantum error correcting codes [4].

Nalini Anantharaman

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Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Determinants of Laplacians and Random Surfaces

Frédéric Naud, Sorbonne Université

Résumé

In this talk we will discuss the asymptotic behavior of determinants of Laplacians on random surfaces of large genus. We will motivate this problem by questions related to quantum field theory and topology of hyperbolic manifolds.

Nalini Anantharaman

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Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Projecteurs spectraux sur les surfaces hyperboliques

Jean-Philippe Anker, Université d'Orléans

Résumé

Dans une collaboration en cours avec Pierre Germain et Tristan Léger, nous nous intéressons aux normes L2 - Lp des projecteurs spectraux dans de petites fenêtres spectrales sur les surface hyperboliques d'aire infinie. En l'absence de « cusps », nous obtenons des estimations quasi optimales et meilleures qu'en courbure non négative. Après un rappel historique du sujet, qui remonte au théorème de restriction de Stein-Tomas, nous donnerons un aperçu des méthodes utilisées pour parvenir à ce résultat.

Nalini Anantharaman

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Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Poincaré Series and Convex Bodies on Flat Tori

Nguyen Viet Dang, Institut de Mathématiques de Jussieu

Résumé

I will start to motivate few recent results on Poincaré series from a naive personal viewpoint. Then I will report on joint work with Yannick Bonthonneau, Matthieu Léautaud, Gabriel Rivière where we consider Poincaré series on the torus which count orthogeodesics between convex bodies. When the convex are analytic, the Poincaré series has analytic extension through the imaginary axis as a multivalued holomorphic function with an infinite number of branching points. We determine explicitely the monodromy around these singular points.

Nalini Anantharaman

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Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Résonances de Ruelle pour le flot géodésique sur des variétés non compactes

Sébastien Gouëzel, Université Rennes 1

Résumé

Les résonances de Ruelle sont des caractéristiques d'un système dynamique qui décrivent les asymptotiques fines des corrélations en temps grand. Il est maintenant bien connu que cette notion est bien définie pour les systèmes uniformément hyperboliques lisses sur les variétés compactes. Dans cet exposé, je m'intéresserai au cas du flot géodésique sur des variétés non compactes. Dans une certaine classe de variétés (appelées SPR), j'expliquerai qu'on peut définir des résonances de Ruelle dans un demi-plan, dont l'abscisse est donnée par un exposant critique à l'infini.

Travail avec Barbara Schapira et Samuel Tapie.

Nalini Anantharaman

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Collège de France

Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds

Silvia Pappalardi

Université de Cologne

Résumé

In the past few years, there has been considerable activity around a set of quantum bounds on transport coefficients (viscosity, conductivity) and chaos (Lyapunov exponents), relevant at low temperatures. The interest comes from the fact that black-hole models seem to saturate all of them. However, the relation between the different bounds and physical properties of the systems saturating the is still a matter of ongoing research.

In this talk, I will discuss how one can gain physical intuition by studying classical and quantum free dynamics on curved manifolds. Thanks to the curvature, such models display chaotic dynamics up to low temperatures, and – as I will show how – they violate the bounds in the classical limit.

The talk aims to discuss three different ways in which quantum effects arise to enforce the bounds in practice. For instance, I will show how chaotic behavior is limited by the quantum effects of the curvature itself. As an illustrative example, I will consider the simple case of a free particle on a two-dimensional manifold, constructed by joining the surface of constant negative curvature – a paradigmatic model of quantum chaos – to a cylinder. The resulting phenomenology can be generalized to the case of several (constant) curvatures. The presence of a hierarchy of length scales enforces the bound to chaos up to zero temperature.

Nalini Anantharaman

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Année 2023-2024

Séminaire - Spectres en géométrie hyperbolique : Low-Temperature Quantum Bounds on Curved Manifolds

Frédéric Faure

Université Grenoble Alpes

Résumé

La correspondance semi-classique habituelle (appelée quantique-classique) montre que l'évolution à temps fixé de paquets d'ondes par une équation des ondes fait apparaitre le flot géodésique dans la limite des petites longueur d'onde λ → 0. Ce flot géodésique est déterminé par le symbole principal de l'opérateur d'onde. Ainsi des opérateurs différents de spectres différents peuvent avoir la même limite classique. La formule des traces de Duistermaat-Guillemin montre que le spectre de l'opérateur détermine l'ensemble des longueurs des géodésiques périodiques mais pas l'inverse.

Nous souhaitons montrer le sens inverse : le flot géodésique lorsqu'il est Anosov, détermine une unique équation des ondes générée par un opérateur équivalent à √∆ à l'ordre principal et dont le spectre est caractérisé par les géodésiques périodiques, via une fonction zéta.

Cette équation des ondes apparait dynamiquement de la façon suivante. Dans le cas simple d'une surface hyperbolique N (i.e. lisse, compacte de courbure −1), la moyenne sphérique au temps t ∈ R d'une fonction u0 : N → C est la fonction ut où en chaque point x ∈ N , la valeur ut (x) est la moyenne de u0 sur le cercle géodésique de centre x et de rayon |t|. Pour t → ∞, chaque cercle devient dense et ut converge exponentiellement vite vers la moyenne spatiale ⟨u0⟩ de u0. On s'intéresse aux fluctuations autour de cette moyenne en posant vt = e|t|/2 (ut − ⟨u0⟩). La surprise est que ces fluctuations sont solution de l'équation des ondes sur N. On montrera qu'un tel phénomène est plus général à toute variété Riemannienne Anosov donnant une équation des ondes émergente, générée par un opérateur qui est une sorte de "quantification dynamique" du flot classique.

On présentera les idées et ingrédients qui permettent d'obtenir ces résultats et qui sont de l'analyse microlocale, des espaces de Sobolev anisotropes, des spectres de Ruelle et des spineurs symplectiques.

Travail en collaboration avec Masato Tsujii, arxiv 2102.11196.